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标题:证明0.9999999....=1 [打印本页]
作者:冷水黄金 时间:2012-8-23 23:36
标题:证明0.9999999....=1
[attach]258654[/attach]
作者:林の屋 时间:2012-8-24 00:07
精彩......!!!
作者:robaiming 时间:2012-8-24 00:31
额。。。。。
: v$ \! k/ c5 d' |) T" f如果你去买菜，卖菜的都会怕你
作者:wawaadd 时间:2012-8-24 03:27
只能说极限等于1吧，不知道乘法是否有从理论上严格地扩充定义到无限小数的情况，如果没有，第一步到第二步就是不成立的
作者:xiaoshxin 时间:2012-8-24 06:48
0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.333333333 6 n" G' A$ U0 r: u
0.999999999=1/3+1/3+1/3 & U1 f/ |- W" ]: ^2 Y( U
0.999999999=1 # m. |9 P0 { k Z8 r% S/ W0 b
证明完毕
作者:原谅我今天 时间:2012-8-24 06:59
这个以前数学老师给我们讲过，它确实就是相等的。要不然，谁能证明1比0.99999999...大？大多少？
作者:无冕游侠 时间:2012-8-24 08:28
等式之所以成立，错在第四步
作者:waiwai0809 时间:2012-8-24 08:51
有才 / {3 O! W! C% o
作者:一碗汤wh 时间:2012-8-24 09:02
10a=9+a，，，
作者:charles006 时间:2012-8-24 09:05
第四步错了：10a=9+a-0.000000000.....9
作者:悠悠南山 时间:2012-8-24 10:25
偷换概念，呵呵！
作者:天天工作室 时间:2012-8-24 10:25
楼主你真能忽悠啊。
作者:旋子 时间:2012-8-26 20:49
哈，有意思！！
作者:木子亻 时间:2012-8-27 09:27
差不多精神
作者:风之舞-蛋炒饭 时间:2012-8-27 09:43
天才
作者:杨铖皓 时间:2012-8-27 09:49
谁让这小数无限循环起来的呢？
作者:杨铖皓 时间:2012-8-27 17:28
1/3是约等于0.333333333333.......吧？？？
作者:Twiney123 时间:2012-8-28 23:01
楼主精彩！
作者:william78 时间:2012-8-30 16:58
10a＝9＋a，我愚笨，不明白
作者:Top璀璨 时间:2012-9-2 17:48
太给力了，这算术
作者:liang271887922 时间:2012-9-4 20:30
有意思，结论是正确的，但感觉证明过程不严谨，好像有问题，让人不放心！
作者:是成功 时间:2012-9-5 14:23
等式成立，参见维基百科。
0 o% U" ]3 H1 A. j1 t 7 w- u" u1 l! ?# v7 i3 }" e& H
http://zh.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A6 ( s- x" s) a. }4 ?
0 w" B% j% m! U/ [
3 y5 C/ ^# h* G. u" }- l4 A
作者:zc812163754 时间:2012-9-9 10:44
精彩~
作者:雪豹LZW 时间:2012-9-11 08:11
第四步的a和第一步的a数学意义是不一样的。所以第四步的等式不成立
作者:给我二两面 时间:2012-9-11 10:42
10乘以a的意思是，10从a的最后一位乘起，但我们找不到a的最后一位，所以等式是不成立的。所以，要用加法。五楼才是正解。
作者:帅的离谱 时间:2012-9-11 18:57
0.9999。。=0.111。。*9=1/9*9=1
作者:zhelongchen 时间:2012-10-20 00:02
犀利！
作者:huhaofei 时间:2012-10-20 09:14
这证明也成立？骗子横行
作者:gushuaiqi17 时间:2012-10-20 11:47
标题:我也可以证明
如图所示
, I1 v) j* I1 A
作者:frazil 时间:2012-10-22 11:27
可以看看北京大学一个博士论文，关于上帝的存在性的，主要从极限方面进行论述的，名字记不清了，看完之后你会觉得很有意思。 7 {5 y6 ?/ E5 [) m* M
在博士论文库里面搜索上帝，应该可以找到。就是利用无限大圆和直线的关系来阐述的。 7 e# m& H, Q6 @/ H
作者:老四123 时间:2012-11-10 15:52
小学时看过
作者:vooha 时间:2012-11-10 16:24
第三到第四的时候，那个已经不是原来的那个了，虽然他很想那个，所以不能简单的就出来第四步，要付出代价的
作者:vooha 时间:2012-11-10 16:26
本帖最后由 vooha 于 2012-11-10 16:35 编辑
/ v8 {; y5 Y( P$ ?- z" i
4 ~( u ^) b" Y, m+ z( B! {第三到第四的时候，那个已经不是原来的那个了，虽然他很想那个，所以不能简单的就出来第四步，要付出代价的
/ s) N6 N8 P0 f% g5 c5 {* F) w 5 q3 K$ c0 s5 a4 p3 y4 _9 s
1和0.99999....如果相等的话，那么他们的差应该是0，但显然他们的差肯定大于0,所以不相等
) x; @% d' S" K% A; q9 U
作者:方图 时间:2012-11-16 21:31
咱们别整极限等数学概念吧， 应该还是有区别的吧， % @6 g% v# {0 p) T
0.9999... 就像“发展中国家”， 像是个动态概念？ & H3 B4 c0 h. G" F' M& ]
1 就是发达国家了 3 {) p- n& _6 A8 o# K: y
8 T' ?% _0 E7 L5 ?) O. Y
古语云，失之毫厘，差之千里！ ) K. n4 Q( p/ D% J
作者:胡胡胡胡 时间:2013-1-15 13:37
3*(1/3)haha
作者:kongping 时间:2013-1-15 14:27
楼主的证明本身是正确的。 - z' i8 ]5 \- m. l
0.9999999...是无限循环小数，这个无限循环小数就等于1。 - y* O9 `% }6 l) b2 b) j
只是一看到0.9999999...，就感觉这个数接近1但不等于1。这个感觉就不对。 2 y2 T C; G8 `, Z- U1 d
作者:liang271887922 时间:2013-1-16 19:43
本帖最后由 liang271887922 于 2013-1-16 19:48 编辑 2 F& k# n7 _9 r! m$ p( A. D1 W7 f8 x
8 S1 H3 g/ u$ V
好好研究一下再发表
+ D& F5 n# m9 [; n5 R* H2 `
作者:秋高麦子 时间:2013-1-25 11:46
不读大学真可怕，什么叫极限，什么叫无限接近，什么叫接近
作者:sunlight_1988 时间:2013-1-25 12:04
哈哈！
作者:★知足常乐★ 时间:2013-7-10 17:08
公说公有理婆说婆有理 这不是一般人讨论的话题 弄点正事吧
作者:zxjcxx 时间:2013-7-11 10:05
0.9999999是理性，只有人类具备这种能力；
% f/ F! x9 `0 H1是感性，动植物也可能具备这种能力。
) _6 M! B- ]# `但人类很难将理性和感性和谐地统一为一体，这是人类痛苦的根源。
作者:zxjcxx 时间:2013-7-11 10:07
理性，是在时间维度上的无限操作。
作者:Ghostbeing 时间:2013-7-26 09:59
精彩你妹啊！ q; |" E7 P4 @0 L. c5 b
楼主你把a带进去的时候就默认0.9999999+一个无穷小量。。。。
2 h# p1 l2 O8 B+ C$ s3 M你学的啥高数啊。。。。。
作者:landxie 时间:2013-8-10 18:50
从实数的角度来看, 0.999999...=1, 实数可以从数列极限的角度来定义数； 但是争执的点在于, 如果从有理数的角度来看, 我们该如何定义0.99999....., 因为有理数的定义是 a/b, a和b都是整数. 我所学的有理数概念并没有整合无限这个概念. 所以这也是为什么有些人觉得0.9999...不等于1, 这个争执在于定义
作者:1032220424 时间:2013-8-11 17:35
还真没看出错误来
$ {0 W ?0 x" x. ~+ W( \3 s
作者:狂飙的蜗牛Ky 时间:2013-10-11 16:17
10a=9+a？ 这是什么推理？
作者:旋子 时间:2013-10-11 16:51
无限接近于1
作者:茉莉素馨 时间:2013-10-23 10:02
实数域对加法和乘法都是封闭的，这么做是没有问题的
0 R$ H' q( R/ I F! y8 I根据极限的定义，任意给定一个数ε>0，总是存在一个N，N=1/ε， 9 Q4 T% M' d! H
当有，n>N+1后，|1 - 0.999999...|<ε : k6 q* ?- I; K0 U2 v
所以，0.9999... 的极限就是1 * _$ W5 g9 m- g0 q$ r u
数学分析里面写的很清楚
作者:阿俊-Hansen 时间:2013-10-24 21:29
等式在第二部就不成立了
作者:wzdybyqhtt 时间:2013-12-25 23:15
[b]1=1/3乘以3=0.3333333........乘以3 =0.999999.......
作者:中等公差belee 时间:2013-12-26 11:13
哈哈厉害
作者:crylament 时间:2013-12-27 15:45
林の屋 发表于 2012-8-24 00:07 7 _5 E- v. a: s2 d
精彩......!!!

% q- b& v9 F8 z* O精彩个P，它论证的有问题，上面a=0.9999。。。
! m1 o% p$ X4 U/ x% }9 X# ]下面a=1，什么东西啊。。。。。。。。。。。。。。。拍马屁。 * Q* a6 \: Y/ F
/ {! w7 m% g& w6 b/ U1 a! ?. e
1/3=0.3333333333。。。。。。 6 U) r% g8 |- k
3*1/3=0.3333333。。。。。*3=0.9999999999。。。。。 ! C: j3 M. q! t$ w
3*1/3=1/3+1/3+1/3=1 9 w3 j5 F, a) h1 Z, S
0.999999。。。=1 - C! J- V0 d( F3 z' P, J
作者:crazypeanut 时间:2013-12-27 17:01
这个问题，回过头来再看，应该这么解决 , X0 C$ B8 Q2 y9 c
, z( O" I _+ c- k
0.9999.......在平时我们常用的微积分中（称为标准分析，建立在实数集基础上），是一个柯西序列，他是收敛到1的，所以可以认为0.9999......=1 - x4 ^- t% Y5 X6 z4 D- J
9 G. P3 ~3 H% |# v
但是，还有种非标准分析，他是建立在扩充的实数集上的，所谓扩充实数集，就是把无穷大，无穷小，也作为一个实数，加入到标准的实数集中。这种情况下，0.9999......无法收敛到1，他和1差一个无穷小
/ D Q( y* a- \, v, `$ ^1 q 8 G! _" h$ C1 C( `
所以，现代数学就是这样，一个命题成立不成立，你得看他在哪个框架下，很多命题，在一个框架下是成立的，在另一个框架下就不成立了。比如1+1=3，在勒贝格测度下，是错误的（平时我们做的加法，乘法，就是在勒贝格测度下），想使1+1=3成立，而且不引起逻辑错误和矛盾，你只要自行定义新的测度即可。
作者:qq5655980 时间:2013-12-27 20:02
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者:suyingyyy 时间:2014-1-14 00:23
第三部就错了 10*a 最末尾怎么也是0 和10+a差那么一点点
作者:轩辕相濡 时间:2014-2-12 20:42
第一步到第二部 你确定可以乘？
作者:轩辕相濡 时间:2014-2-12 20:43
1/3+2/3=1
作者:胡工hugong 时间:2014-3-5 16:06
牛啊
g X; U0 H5 U) ^+ Y Q/ [ z5 K: x$ x# u
作者:世界第一等の 时间:2014-3-12 14:56
0.11111...=1/9
9 {9 v U9 [7 R3 T2 q5 x0.22222...=2/9
R$ R7 d; l9 x) n) X0.33333...=3/9
3 ]% e O+ g1 W# F. " C6 i4 I7 K M! S
. " P8 k. K8 \/ ^$ N+ q
. * G7 I/ z+ i5 r1 z2 k
0.99999...=9/9=1
作者:xi315 时间:2014-3-13 10:27
我觉得第二个等号就已经有问题了，一个无穷的数 x 10是没法运算的，不是简单的移个小数点就算乘以10了。
作者:千门万户 时间:2014-4-26 00:39
0.9999....=0.3333....*3=(1\3)*3=1
作者:qzeng52 时间:2014-4-27 18:40
第二步绝对有问题
作者:fuhuafeng72 时间:2014-4-28 21:58
有意思
作者:陆qq1 时间:2014-5-15 08:17
混淆公式啊，这是
作者:panycbob 时间:2014-5-16 09:00
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者:syxgale 时间:2014-5-16 09:24
我也觉得证明过程有点问题，无限循环参与计算不能不考虑误差啊
作者:麻神machine 时间:2014-5-17 19:42
极限的情况这种算法不成立的
作者:光111光 时间:2014-5-21 14:07
数学知识还给老师了，给个准确的答案吧
作者:huangzhenbao 时间:2015-2-4 15:15
等式之所以成立，错在第四步
( e: |$ J: Z% [6 d( M8 }
作者:袁光金 时间:2015-2-5 09:29
9a=9是怎么做到的。前面一直用a做加法，后面直接就9a做乘法合适吗？
作者:wq27265390 时间:2015-2-6 14:27
好强大
作者:Pascal 时间:2015-2-6 15:25
袁光金 发表于 2015-2-5 09:29 7 y3 D* ?; o/ H, G3 c- U2 R
9a=9是怎么做到的。前面一直用a做加法，后面直接就9a做乘法合适吗？

S. N$ H* a0 v7 L9 W可参考下这个帖子
& o0 O2 B8 z- d7 y http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=360758&extra=&page=1
作者:刀切面 时间:2015-2-9 06:42
标题:RE: 证明0.9999999....=1
xiaoshxin 发表于 2012-8-24 06:48
+ m+ d* u+ C V# |! d2 I! r7 o4 p0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.333333333
2 J0 u+ K0 z" g' c2 w; r0.999999999=1/3+1/3+1/3 i6 E, s& }" |, P" f- H: u
0.999999999=1
~ A* |$ p5 H* @! v( b! h- u
好神奇
作者:dxx347 时间:2015-2-9 11:32
0.99999......=3*0.3333333.....=3*（1/3）=1
作者:陈小困 时间:2015-5-22 16:40
逗
作者:飓天使 时间:2015-12-29 16:19
一种混淆概念的方法
作者:cosxuan 时间:2015-12-29 16:51
这个极限可以写成1-1/（10^n）
作者:boa65432 时间:2015-12-29 19:58
10a no 等于 9+a
作者:ustb_anays 时间:2015-12-31 20:58
根本不用证明 我说两者相等 有谁不服 可以给我找出介于1和0.9999...之间的数 哈哈 找不到吧
作者:cuiwu 时间:2018-12-12 14:43
无冕游侠 发表于 2012-8-24 08:28 / x$ l1 Z# A1 G/ ]3 C$ j& h4 ]
等式之所以成立，错在第四步

) y4 B2 d. f6 Q+ q2 U同意 6 n+ d. R5 u. _! B5 `; v+ R+ [
0 C+ _+ t) S9 t1 x; j. l% \
作者:move3309 时间:2021-5-20 16:38
第四步不对，所以推导不成立
作者:Kai_CC 时间:2021-5-21 02:08
啊。。。这个都成月经问题了，各个必威APP精装版下载上都会吵一遍/几遍。。我也吵过几次，淡定了一些，既然坛子里的兄弟们感兴趣我也就说说我的看法。 8 m! z) ?3 v2 Y# t9 p
有人说这个题是能看出人学没学过高数的分水岭，其实不然。这其实只关于对于极限思想的理解而已。。 $ G' ]7 G3 n' |( z+ f6 O5 ~- u3 g
" V0 L) }1 p# ]1 \6 r
其实0.999...999是严格=1的。
4 u( l' T& r3 ^/ ?' y Q a' U U9 M* S' z) l- t0 G
一个简单的证明：
3 H7 S- V5 Q# K% }# b9 c7 P ( s5 P( D/ k( c) }/ \5 Y
【定理】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个有理数。
3 i3 j% N- v9 I
* D/ Y H7 t M先证定理：a和b两有理数，如果a!=b,那么一定存在n个c,c=m*(b-a)/n+a, m定义域（0，n) 2 v- g- H* J [# o4 S0 I
0 l* P* V5 O) W; b1 q
显而易见吧？意思就是它们之间的小区间可以无限再分，从而构成无穷多新的有理数。 & h/ b$ M" @1 V5 i* c
% X0 n& B8 ^. l, ~' S
回到题目：0.999...999和1是不是不同？ 0 X' P3 Z, N) ?/ d# R {& m4 \

) f" O: x7 J6 `6 K反证法，假设不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2 M; W8 @1 j8 _6 o
, U! Y6 V' W1 @5 V2 [
这个数是什么呢？那一定是有一个小数，比0.999...999拥有更多的9. 那是不是表示，这个新的数就应该是你之前的那个数？
+ ~# i+ q" ~- T: O# Q : ^$ [/ a$ G( [+ @- P* f! n
所以说明了什么？要么存在一个新数取代了原来的数，要么两数相等。如果新数取代了原来的数，证明你的9还不够多。 5 r* L: |( w1 [' z8 l

4 I1 E4 k! r1 |+ p8 L所以，0.999...999和1只能相等，证毕 / n" v0 k: g# \$ b" b f0 e

, A0 P4 g* g/ o' D5 F; C9 Q
3 Z1 j1 F3 H6 r& O9 X, ~# T- g. A更简单的证明方式也有, 坛子里不少大侠也说过了： 7 w: a* a7 k. U0 u4 |9 M: B: R Q
1/3=0.33..33， 这个居然还有人质疑？小数（或者说根本不存在小数）和分数是一一对应的，或者说根本就是相等的，这个也不需要质疑的好吧？后面就不证了，有想杠一下的再说。
* z+ F* ~: F* R0 B) N, s( V
; H0 `" @! ~+ ?, ^: m0 T! u2 }再细说一下第三种。
. x! H" J+ ]1 Q1 x5 B; H& G0.999...999*10=9.999...999
8 Q( G* D4 }$ s, d这个式子成不成立？显然成立。但是是不是有一种右边小数点少一个9的感觉？为什么？ $ P4 M1 X1 | x( q9 k# m1 A
伽利略悖论有一句话：正偶数和自然数一样多。 4 D% G. R, B9 p; w
解读过来，在无穷的层面上，每一个自然数都和他的2倍一一对应，有n个自然数，就有n个正偶数。 2 Z1 r3 Y. q( H. o2 u- a1 Z
（多提一句：上例可以一一对应，但涉及无理数和实数则不行，实数对于有理数属于高阶包含，不存在映射关系了）
* @/ l. V! E. C; f# X同理，每一个左边的9，都与右边的等位的9(其实是前一个)一一对应，相当于编程里的n=n+1,没问题吧？
+ C3 F) C6 _" t# G4 x5 P! ]; V$ @因为是循环小数，数位后是n位，在无限的概念下，n和n+1没有区别。这一点可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖论，就很好懂了。
8 h0 X8 s1 d: b+ b f6 n9 [8 v8 ?
* ?$ Y5 K% R9 p) n5 C另外说什么无限小数不能计算的，纯属扯淡。无限小数是位数不限，不是大小不限。再无限的小数，他的值也是有限的，不能混淆他和无穷大之间的区别。
( F9 I5 c& Z* ?( v# o$ F l
& n6 ?; |! L' ?7 t大家都是工程师，感觉理解能力和接受能力应该高于各门户网站的网友群体吧。有问题或者不同意见，欢迎交流。 & O+ c( v& C! S' b
作者:新手驾驶 时间:2021-5-21 19:15
c=0.999...
' O5 S- m7 O$ Z8 r9 J10c=9.999... 9 ^* a. C9 a; y) C% N& p) }; V
10c-c=9.999...-0.999... . ~) b) R4 | {( [1 X- i n' ^
9c=9
! f1 I& Z, v. v) Yc=1 0 `6 v7 n! ~5 W2 v/ O* N
- ~+ p4 m0 |' q, v; ^; p
作者:喝酒不吃肉 时间:2021-5-22 14:42
第四步代换不对，不满足一元一次不等式要求，等号左右未知数必须同时替换
作者:majingfeng 时间:2021-5-23 08:37
吃饱撑的 不务正业的东西
作者:m2006410 时间:2021-5-24 06:04
本帖最后由 m2006410 于 2021-5-24 10:39 编辑 % Q6 H, V/ a0 v
/ M, {( N6 E2 `+ j$ j4 l
这个厉害了
作者:指天为地 时间:2021-5-24 08:48
虽然你证明了0.999999....=1，但是P夕夕还是不会给你体现的！
2 x) z9 s( D. z U) L
作者:m2006410 时间:2021-5-24 09:51
本帖最后由 m2006410 于 2021-5-24 10:38 编辑 ) b# ^8 z$ h: c9 t% Y; Y

% C! y( }/ y/ ]2 u& _' m 这个厉害的
作者:陈浩南98 时间:2021-5-24 11:24
微乎其微，忽略
作者:未来第一站 时间:2021-5-24 23:33
作者:凤笙龙笛 时间:2021-5-25 06:46
搞机械的都成数学家了
作者:总点外卖先生 时间:2021-5-25 11:46
优秀
作者:一尾锦鲤 时间:2021-5-25 14:34
请先证明9a＝9
作者:babty 时间:2021-5-26 08:43
wawaadd 发表于 2012-8-24 03:27 4 l! _6 U! b9 ~/ }8 ~1 S. d9 W
只能说极限等于1吧，不知道乘法是否有从理论上严格地扩充定义到无限小数的情况，如果没有，第一步到第二步 ...

8 s! o( g2 V& y0 G! q8 r0 {0 f4 K+1 N( h; H9 b% S2 f/ j! V
作者:oceantomas 时间:2021-5-27 10:37
不知道对不对 ，毕竟曾经学的是数学分析
作者:opaqueboy 时间:2022-10-10 16:25
真几把无聊，老师讲极限的时候不是学过啊！
作者:jxzdh1002 时间:2022-11-16 10:22
让我想起了宋小宝的小品，吃完汤面不给钱。因为汤面是用炒面换的 ( j y* d- Y3 K6 b! O- f5 Q
作者:老鱼DH 时间:2022-11-19 17:59
咕咕咕，要有光
作者:平凡yjr 时间:2022-12-6 07:56
xiaoshxin 发表于 2012-8-24 06:48
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作者:藏锋聚气 时间:2022-12-19 11:19
1:我怎么少了一点？我想想，少了哪一点？
5 ~1 c$ _% ^; G, g( D: ]嗯！少了一点脑子



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