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标题: 一道数学题目 [打印本页]
作者: 猫王001    时间: 2012-6-15 15:37
标题: 一道数学题目
今天平面解析几何，发现将三角形的重心和三角形的三个顶点相连，将三角形分成三块面积相等的小三角形。如果任意四边形的重心与四个顶点相连，将四边形分成四个三角形，请问，这四个三角形的面积是否相等呢？/ I( O# s6 c* y5 y( @7 G7 Y5 r% [8 J
[attach]252744[/attach]2 q0 q: U/ T0 [6 j- I. a' c
作者: 墨斗鱼    时间: 2012-6-15 15:44
肯定相等4 V* B# w8 m8 N4 e
作者: 九月DE男孩    时间: 2012-6-15 16:27
要平行四边形才相等
作者: delen    时间: 2012-6-15 23:01
好像有这么个定理：由两个A，B合并而成的一个图形C，A的重心为点a, B的重心为点b, C的重心为点c, A的面积为Sa, B的面积为Sb,则(1)点c 必在线段 ab 上（也适用于A、B分开，即没有公共点的情况）(2)ac * Sa = bc * Sb，根据这个定理利用反证可以发现这个命题不成立。不知道这样证对不对。
作者: chengxun    时间: 2012-6-16 09:47
我数学不是很好，希望跟高手学习学习
作者: 动静之机    时间: 2012-6-16 17:55
[attach]252847[/attach]
& Z3 E  `% g! I$ Y: H
/ N$ N, J9 L4 n: ~$ T, X1 C. B这里有个任意四边形。7 j2 P% \5 [1 \9 l) v; `1 Y

0 Z& m0 K- B  x- J; X4 K: o在重心处用钉子挂起来，可任意角度平衡。
$ ?+ p8 I" o' d
+ R8 ^  H) j# X当某条分界线垂直于地面时，必有A+B+Δ=C+D-Δ     Δ为阴影部分面积。0 }# }- t1 C# z" F4 s. o, W) F

# x0 E+ B' v5 [* Q3 a) a由于Δ不始终为零0， 因此 A、B、C、D一般不相同。
$ d  J+ `, N, ]
& t- F1 X6 E6 H
作者: huang20121212    时间: 2012-6-18 02:05
重心还和密度有关系的，所以命题不成立！
作者: hihuxu    时间: 2012-6-21 17:52
现在是理想状态，跟密度有什么关系？$ c/ ?& i- F( A% X6 [6 g6 o
再说了，是三角形又不是实体，哪里来的密度？
% [4 }6 U2 R* g3 Q" j  y- G我认为是相等的
1 N4 m- y! Q' Z* j
作者: alphazhan    时间: 2012-7-7 17:06
重心是怎么定义的？
作者: 77459369    时间: 2012-7-8 16:11
相等
作者: 龙冲007    时间: 2012-7-11 12:33
无聊中
作者: qingquan202    时间: 2012-7-11 16:15
动静之机 发表于 2012-6-16 17:55 1 M' a" r( ~/ L, Z1 \
这里有个任意四边形。9 C; ~* Q" a) r  i
( L$ t* u5 ?9 l- S
在重心处用钉子挂起来，可任意角度平衡。

# t* ~  W" w1 j; T5 ^弱弱的问一句，为什么A+B+三角符号=C+D-三角符号   （德尔塔不方便输入用三角符号代替）2 b! Z. p$ a; t7 x; X
分界线两边的质量不一定相等
作者: qingquan202    时间: 2012-7-11 16:26
这个不一定相等，虽没有想到纯理论的方法，但是可以反证。+ U; {! K+ U6 H, J8 K6 v
任意四边形重心一定存在，楼主题目可以分解为两个题目的组合，即任意四边形有一个点和四个顶点的连线把四边形四等分和这个点和重心重合，可以证明任意四边形不一定存在一个点与四个顶点连线将四边形四等分，这样就证明楼主所说为伪命题。
  P+ u! W( B; j8 k# ^4 C可以通过这样的方法来寻找四边形的上述的那个四分点，从一个顶点出发，共该顶点的两个三角形面积相等，即该两个三角形的公共边将该四边形的该顶角以一定比例分开，该比例取决于该顶点两条边的长度比例，如此，找出了一条线，接下来在与该顶点相邻的另一顶点通过同样的方法找出第二条线，这样两条线即有一个交点，如果继续在第三个顶点寻找该线，那该线必然应该通过该交点，而通过实际作图，会发现这个不一定通过，或者通过作图，不用找第三条线，因为前两条线已经确定了我们要寻找的四分点，接下来只需要验证该四分点分割的四个三角形面积是否相等，而通过cad作图发现并不相等，所以证明任意四边形不一定存在这样的四分点，最后证明楼主所问答案为否。
作者: wli.wang    时间: 2012-7-11 21:25
相等
作者: 丝毫之间    时间: 2012-7-13 14:53
忘得差不多了。。。。
作者: universal    时间: 2012-7-13 17:01
平面图形几何重心的性质是：任何过重心的直线平分该图形。某些情形可能把图形分成不只两份，但直线两侧的面积是相等的。利用这一性质可推出如四三角形相对则必是平行四边形，过程不复杂，用三角形面积就能导出来。
作者: eyginu    时间: 2012-7-14 11:36
alphazhan 发表于 2012-7-7 17:06
' P1 B0 ]' P( ^- \, y! w重心是怎么定义的？
2 @9 E  W0 U3 i, e
三角形重心是三角形三边中线的交点。
作者: alphazhan    时间: 2012-8-12 16:53
eyginu 发表于 2012-7-14 11:36 ( Z5 ~* E5 V$ ?% d7 J' F/ H. ^
三角形重心是三角形三边中线的交点。

. v. _& o  w0 y自己汗一个   呵呵                  
# w$ m8 M  C3 H; g
作者: eric9271    时间: 2012-8-17 14:19
不相等
3 o% x/ s' i' `! ]5 N$ T( D* B* T. C7 v
缺少条件
作者: 然也1111    时间: 2014-3-9 10:30
有时间算一下
作者: 轩辕相濡    时间: 2014-3-10 17:41
delen 发表于 2012-6-15 23:01   p4 m& k: y, R( @& t, f8 N) v
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" P, x) H- `: m1 [
言简意赅
作者: 轩辕相濡    时间: 2014-3-10 17:45
不一定啊 哥们



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