机械必威体育网址

标题:关于极限和连续的两个数学问题 [打印本页]

作者:鬼魅道长 时间:2011-4-20 18:50
标题:关于极限和连续的两个数学问题
今天一哥们聊天时说起，很有趣，大家也来试试：

1.青蛙跳井：
一个青蛙在井底，想要跳出去，假设永远不会向下滑，它每次跳高的距离都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒钟，那么青蛙能不能跳出井？

2.阿基琉斯追不上乌龟：
芝诺说，如果阿基琉斯落在乌龟后面，同时起动，那么会出现这样的情况：假设初始时，阿基琉斯在A点，乌龟在B1点，经过了t1的时间，阿基琉斯到达了B1，但同样的，乌龟用t1的时间到达了B2，而当阿基琉斯用t2的时间到达了B2时，乌龟又用t2的时间到达了B3，而阿基琉斯到达B3时，乌龟又到了B4，如此往复，那么阿基琉斯就永远追不上乌龟。

对第一个问题，所有的人都说“永远跳不出去”，而对第二个问题，则说“肯定追得上，因为事实就是这样”。

于是那哥们问，为什么两个类似的问题，答案不一样？数学依据是什么？

最后大家还是用数学模型把这个事了了，不过过程实在很有趣，社友们也来试试吧。

作者:闲人一个OO 时间:2011-4-20 20:09
第二个问题我上马克思时老师拿来当例子讲的，这个问题逻辑上很难搞定的

作者:高进 时间:2011-4-20 20:37
这个问题我也想过，为什么呢追不上呢？我想是由于这个时间永远不能过度到下一秒，越来越小

作者:无能 时间:2011-4-20 20:48
本帖最后由无能于 2011-4-20 21:47 编辑

回复长驱鬼魅的帖子

第一条敝人看错了，答案请见下面有大侠给出。
第二个问题本身就没有描述清楚。一般来说，如果能把问题很清楚的描述出来，那么答案基本上就出来了。
我认为，芝诺悖论是在描述上首先就把人弄糊涂了，如果换一种描述，就不会出现悖论，因为悖论首先就已经确定是错误的了，只是因为描述上弄了手法才让人看似正确。
没想到兄弟有雅兴钻研微积分的基础问题，佩服！

作者:jsj306 时间:2011-4-20 21:05
本帖最后由 jsj306 于 2011-4-20 21:07 编辑

第二种情况仅仅是计算上趋于无穷，实际上阿克琉斯不会按芝诺的算法来跑，一步两步就跨出去了，芝诺的算法仅仅是对这一步两步（或者这一步两步所用的时间）做细分，这就涉及到距离或时间是否无限可分的问题了

第一种情况就是按芝诺的算法来跑了，他算一步，青蛙就跳一步，按他这个算法永远算不完，那青蛙也就永远跳不出去

作者:螺旋线 时间:2011-4-20 21:10
那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢？

作者:无能 时间:2011-4-20 21:24
回复jsj306的帖子

这是“潜无穷”论者与“实无穷”论者的争论。
潜无穷论者认为，世界上没有真正无穷的东西，所谓的无穷不过是描述一步接一步的动作，这个动作永远在进行中，永远没有终止。
但实无穷论者认为，无穷是存在的，存在着“一下子就完成”的无穷，而非像前者那样的永远无法完成。

能体现这两个无穷争论的例子是：你从点0到点1，无论如何你要经过它们的中点，就是0.5；而你要到达0.5，也必须先到达它们的中点即0.25……如此进行下去，由于这些中点是无穷的，所以你永远无法从0点到达1点。
实际这就是区间(0,1)的稠密性，也就是敝贴曾经提到过的，这个区间是连续统的精髓。

你永远无法从点0到达点1，是潜无穷论者的论点，但是我们明明可以一步就从0到1，所以实无穷是存在的，证毕。
集合论是承认“实无穷”的存在的。

根据我的研究发现，“实无穷”的论点直接就导致“不可知论”。

作者:metalstorm 时间:2011-4-20 21:35
本帖最后由 metalstorm 于 2011-4-20 21:41 编辑

问题一：青蛙是跳不出井的，只能无限接近一个极限高度，这个极限高度等于第一跳的距离乘以如下等比数列的求和极限。
[attach]210742[/attach]
问题二：阿基琉斯只能无限接近乌龟，但永远追不上，阿基琉斯的速度一直在变慢。请教楼主这个数学模型是什么？

作者:无能 时间:2011-4-20 22:29
回复metalstorm的帖子

[attach]210748[/attach]

第二题，我读题发现龟兔是各跑各的，并且并未说明B3一定在B4后面。不知道原题是不是想说兔子每次都要跑到二者距离的中点。

作者:无能 时间:2011-4-20 22:48
本帖最后由无能于 2011-4-20 22:50 编辑

回复螺旋线的帖子

看来以己昏昏，还是不能使人昭昭啊，哈哈哈…
只能说 1 是无穷序列 0.9' 的极限，即 n->∞ 时 lim (1-1/10^n) = 1。
0.9' 无限趋近于 1，但它不等于 1。
欢迎继续提出异议。

作者:螺旋线 时间:2011-4-20 22:54
还是不要讨论这种问题吧。
数学这东西，学不来，知道结果和懂是两回事。
作为工程师，需要的就是知道。

作者:未完不续 时间:2011-4-20 23:49
本帖最后由未完不续于 2011-4-20 23:50 编辑

第一个问题：要想蛙跳不出去，前提条件是井要足够深，大于等于蛙单次跳跃高度的 2 倍。
第二个问题：以 A 点为原点

T1= B1/Va

T2= (B2-B1)/Va = Vg*T1/Va = Vg*B1/Va^2

T3= (B3-B2)/Va = Vg*T2/Va = Vg^2*B1/Va^3

……….

Tn=(Bn-Bn-1)/ Va = Vg^(n-1)*B1/Va^n = B1 * ( Vg/Va)^n/ Vg

当 Vg/Va<1 时， ( Vg/Va)^n → 0, Tn → 0, 说明阿喀琉斯能追上乌龟。

作者:风追云 时间:2011-4-21 09:04
这两个问题是名副其实的“长驱鬼魅”问题。哈哈。

作者:扫街 时间:2011-4-21 09:10
1除以0等于神马

作者:andyany 时间:2011-4-21 09:18
数学如果不和物理结合，就是奇技淫巧。

作者:fmdd 时间:2011-4-21 09:27
第一个：无限等比数列求和Sn=a1/(1-q)
a1=1/2 q=1/2 Sn=1
说明青蛙是能跳出井的，只是在它有生之年没法完成，抛弃理论不说，从事实上来考虑，青蛙的前脚已经出了井口，后腿虽然还在井里，它可以爬出去，不用再花无穷多的时间继续跳了

第二个：这个是哲学上的诡辩，运动具有瞬时性，也具有连续性，哲学老师说，任何运动方面的诡辩，都是割裂了运动的两个特征。在这个题目里，运动只表现出瞬时性，所有的分析点都是一个片段。这个问题需要有比物理学和数学更高层次的哲学理论来解释，那些研究宇宙的本源、人生的意义的极端聪明的家伙，才能给你揭示出这个问题背后的本质。

作者:鬼魅道长 时间:2011-4-21 09:52
本帖最后由长驱鬼魅于 2011-4-21 09:52 编辑

这两个问题，必须计算“重心”，即没有实体的点，不然，就会出现楼上说的，前腿出井，后腿留在井里的事情。

可以先分别提出假设以建立数学模型：

1.青蛙第一次能跳到井的一半，而且1/2^n次跳的时候，所耗费时间也是1/2^n秒，那么当它跳到第n次的时候，与井口的距离差为1/2^n。
2.阿基琉斯时速为1m/s，乌龟为0.5m/s，两者相隔1m，所以第一次经过1s，距离差为1/2，第二次经过1/2s，距离差为1/4，不断往复，则第n次，距离差为1/2^n。

那么可以得出，两个的距离数列是基本一样的：即1、1/2、1/4、……、1/2^n。

但是得到的结论却是两个答案。

作者:kongping 时间:2011-4-21 10:24
本帖最后由 kongping 于 2011-4-21 10:31 编辑

第一个问题：先决条件是要看井口的高度和青蛙第一次跳跃的高度，青蛙有可能跳出或有可能跳不出。不能一概而论。
第二个问题：先决条件是谁的速度快，如果阿基琉斯的速度大于乌龟的速度，那阿基琉斯一定会追上乌龟，只是时间问题。如果速度小于或等于的话就不用说了。

作者:luyupei 时间:2011-4-21 11:54
第一个问题是距离的极限，所以跳不上去。第二个问题是时刻的极限，过了那个时刻就超过了。

作者:鬼魅道长 时间:2011-4-21 17:47

长驱鬼魅发表于 2011-4-21 09:52
: m6 T1 R7 [8 X3 A这两个问题，必须计算“重心”，即没有实体的点，不然，就会出现楼上说的，前腿出井，后腿留在井里的事情。 ...

刚才打了一大段字，想不到网络出问题，一下变成未登录状态，辛苦白费了……555

其实距离数列已经说明白了，是完全一样的，之所以答案不同，是因为缩短距离而花费的时间的关系。

1.青蛙第一次跳，花费时间1/2s，由于中途会停歇1s，所以第二次花费1+1/4s，第n次则为1+1/2^n s，那么花费的时间数列为：

1/2、1+1/4、……、1+1/2^n，n无穷大，则消耗时间的总数也是无穷大，青蛙永远也跳不出去。

2.第一次缩短距离，花费时间1/2s，第二次花费时间1/4s，第n次花费时间1/2^n s，那么花费的时间数列为：

1/2、1/4、……、1/2^n，n无穷大，则消耗时间的总数是1s，根据前述假设，在速度为1s/m，相差距离为1m的情况下，在1s的花费时间终结之时，阿基琉斯与乌龟就站在同一位置了，而下一个t时间，无论有多么小，由于速度上的优势，他必然会超过乌龟。

对比一下，就发现两个数列的差距就在“每次停歇1s”这个地方，换句话说，如果阿基琉斯每次都要休息，那么他也永远追不上乌龟。

之所以想起来把这个问题发上来，就是想说一下昨天讨论的结果，那就是，追赶别人是不能停的，如果天朝每次追赶米国都要停歇，那么，即使发展速度比人家快一倍，也将永远追不上。

作者:春播 时间:2011-4-22 09:25
那我在来补充一个问题：
“一尺之棰，日取其半，万世不绝”？

作者:鬼魅道长 时间:2011-4-22 10:58

春播发表于 2011-4-22 09:25 / C1 R! `; t7 @& m. Z; d* v3 b0 K
那我在来补充一个问题： # e; W# @$ o3 o G: B5 a) d9 j
“一尺之棰，日取其半，万世不绝”？

这是必然的，因为日取其半的原因，如果一直不停地取，取完的时间就是速度问题了。

作者:oscar30000 时间:2011-7-5 13:55
回复无能的帖子

数学本来就是人类总结出来的规律而已，既然是规律那必然有局限性，就不能解决一切的问题。

作者:oscar30000 时间:2011-7-5 14:03
回复长驱鬼魅的帖子

2000年高考的时候我就是写的这个故事，居然得了50分（总分60），哈哈哈。

您所说的第一个问题是数学的局限之一，第二个问题，交代的不详细，如果间距无穷大呢，那肯定追不上，间距为有穷时，那追上肯定不是问题（物理的角度），这也是数学的局限之一。

事实上，没有人能够制定一个完美无缺的规律，如果我们在规律中找完美，那就是自找烦恼。

作者:hisun_cth 时间:2011-7-5 15:43
本帖最后由 hisun_cth 于 2011-7-5 15:48 编辑

回复metalstorm的帖子

你那个等比数列的和等于2，只要第一跳大于等于井深的一半，就能跳出！比如：井深4米！第一跳3米，第二跳1.5米！出来了！

作者:猫王001 时间:2012-6-4 17:33
第一个问题是个截杖问题，在高数上好像有这个例子

作者:Pascal 时间:2014-7-6 21:30
无意中发现这个帖子。
谈谈第二个问题。

芝诺在关键词“追”上偷换了概念。
所谓追不上应该是指任意时刻t，阿基里斯都在龟的后面；而芝诺却偷换为在无穷多时刻t，阿基里斯在龟的后面。这正是问题的症结。

作者:伯爵的等6 时间:2014-7-7 16:50
关于第一个问题，我有个想法。假如兔子第一下就跳的距离就大于井高，就没有以后了吗？

欢迎光临机械必威体育网址 (//www.szfco.com/)