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标题:请教一四点支撑平台各支点承重量计算的问题
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作者:easylife
时间:2009-9-28 15:22
标题:请教一四点支撑平台各支点承重量计算的问题
如下面的俯视图，
9 N0 m2 R+ k7 r9 u% s
8 E( ~; p1 M/ W1 J平台为一刚性水平台，由弹性支撑件P1,P2,P3,P4支撑。工作台重心为图中W点。总质量为W.
1 S8 i! \$ `+ C$ f
几何尺寸如图中所示.
# @) t( g/ B5 k6 n. Y
请问怎样计算各个支撑件P1,P2,P3,P4的受力大小？
2 e3 l5 }( A7 m0 T* b. |( z$ C) Y
8 H/ `+ ~- N) q[attach]148123[/attach]
作者:李赣
时间:2009-9-28 15:51
1、受力
3 s8 ?& g1 T! U* {
2、力矩
9 {' a! [) l p9 e5 G- S
平衡
作者:easylife
时间:2009-9-28 15:55
1、受力
$ n) e5 E5 x& f, u3 U) \( s2、力矩
" \. d e/ s9 @4 P5 {) w* \6 T平衡
/ @) f- [* [, `/ Q. C
lit_hiker 发表于 2009-9-28 15:51
: j6 f: ~3 v: s: C) Q
, K. S* }# D8 t# X/ o" ^4 N0 l, T
不知道怎么建立力矩平衡方程，能详细讲下么？
: h" F" M h z+ K6 Z; i; W谢谢
作者:小白菜
时间:2009-9-28 16:35
可以先把同一侧的两点当成一点，算出来后再把合成一点的两点的力再算一次，高中的同向平行力。
作者:李赣
时间:2009-9-28 18:07
把旋转轴设定在两个支点上，这两点的力的力臂为零。
作者:草原蒙狼
时间:2009-9-28 19:24
楼主需要补补课 上述用平面汇交力系可解 授人与鱼不如授人与渔
% T {1 k! S* ]7 i
* m( F% ]- N# @ Y2 l5 V
请看下面 力学教材
6 G& ~: l8 s7 r: z# N+ I8 O
2 N# t& f4 Q% v0 g6 x! i- {0 @2.1 平面汇交力系
: D8 k+ }* \8 G* U! d
6 D4 G) g' Y# X8 f$ C8 L
平面汇交力系的工程实例：
( n( v3 C, Y' ^$ N3 e
0 S6 {1 r0 I' G6 k6 d( d% R" E, V
6 d! f4 T9 F$ i5 n( f
, r; Q4 k9 R/ m- U5 q, o2.1.1 力的分解
6 m6 g. T$ D% J
3 r1 I6 g# t# L/ E按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
8 P9 j" a4 g9 G( u5 H4 K
4 `2 c2 a- ]; g, X: K* K2 ~
但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
7 u% ?% E1 v8 C; Z
: ^* b4 p! J- X
2.1.2 力在坐标轴上的投影
! c6 d( K* t2 E8 B7 n
2 a$ N( m* m% L$ _# U/ p1 N# J
" H$ r' k" K! M4 v" A. B% G
" ^/ H2 }. U7 c# V" u& i
- X2 W7 b( f/ t/ C8 Q' F
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
9 J3 c9 d; |3 l4 H' u. W
5 h8 l% J5 |9 V8 p/ {
. c; o* G" ^9 B# f! |1 r
. S b* ^6 }' s2 q/ s5 h+ O% x
2.1.3合力投影定理
- C4 q! j: h8 h1 N
F$ {7 z& ~/ @+ f) U( [" l: j4 h' @
* G$ N9 H' V$ d* I( H$ T
7 v# b$ ~6 r4 h2 G% n4 C0 p" ]
: X' n+ a. v& T
6 p! h2 L+ t9 u
1 |# h1 j# \3 x! @% e5 ^, |: \4 {
B' V/ O$ ] B8 M% k# `( m2 N
+ q8 p. q- h, d; N* s6 w/ ~
: u7 I: n/ q! f3 o7 H& Z合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
" D8 y& w) d2 ^) a7 @" y# y) r1 ?- h
; I( a; N: P6 Q) ]
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
+ j, a: B p; @8 t! q
- ?1 p- G) R0 d* s& f% C
平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即
$ ~7 V, Q9 E, _
3 }$ T5 c. l2 d8 F! U" g8 {' F
9 S3 B1 Y5 ^0 C* c1 E) s( ?
1 O( i0 j3 }! W即
0 h( R9 J* W! `: T+ D
+ t4 a1 |$ S2 f3 n0 b- X
) F. n/ {1 e) u' N: |6 o
. Z9 v& B+ C0 o; w3 [& e
2 v& v& ?0 H) N1 @0 G" t+ \8 L力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
7 E9 e* E- u& [7 K) C0 X$ e3 O' C
0 ]* L1 d, R3 t8 l8 T' Q3 x% a
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
8 p% L, d1 W, I5 b
# R1 g' l. b1 {
+ q# e9 F0 d' B$ L1 Y2 E
9 O/ w7 t3 f& P9 E1 ^. a: T
例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
. c0 w6 a( U$ x; x" v1 P- Q- \2 K
/ S8 J: P+ v, y0 p+ `: Q4 ~
9 @; f' _# ?# N; y
T; M: k/ `4 c5 {/ Z
解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
: r% {# A& U& h+ M4 g' B; y. c
; L4 } D. K- m0 C* X% S+ C
- M4 ^5 e& q: G/ M7 C
( ?$ \7 s- ?/ i3 y4 c) d1 ]* E解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
5 w9 C% t( P0 u/ J
7 j* P' Y+ n! {" d8 A1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
3 B6 q, G) S, N: `* Q
8 ]# f1 v; J( B0 h" K2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
0 S6 Q1 |$ J0 d7 r; k& o- z8 ~
- j; k" h8 L& v. M3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
; `% R2 H8 \' P% X
% q$ y7 y( }# ~$ F) ~: A
在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
7 |, r. r0 f, L, x' D, s, H
1 V- i: V! o6 \2 I. y9 y$ O: U' g
2.2 力矩与平面力偶系
$ o! B; @% d" i: ]
3 S$ c3 r8 N9 K# l! c3 w/ k2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)
; b# \. C/ A0 v( M# T" B! ^. K
$ B+ H, R3 J' T1 }" Y9 h
1.力对点之矩的概念
6 [* y# e* z- O6 J1 T A, ] T
6 { S5 x+ [' f4 y! A- g
为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。
4 }7 p% y4 K( Y3 B6 t: ^4 s/ F
% o% i: I: z% ~3 n
2 [7 R+ N0 z8 k5 V6 D! R1 H% R
5 m% i1 \4 R$ v/ T) [力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
! N8 @0 k7 c+ \
" U5 s/ Z' e/ a, s2 n2 f0 E6 o一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
8 }6 `9 ~) U" N0 H$ b( Z
, W: ~/ c* p2 U2 A
, q3 P* b5 H0 Y+ A0 j8 |- S! o+ L+ u
1 @$ L4 ]2 k3 @% ]) n
Mo( F ) = ± 2△OAB
, G g: |5 L4 k
1 V! {5 r3 e5 i+ M& t
力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
7 s* V& e( s; Y. C+ k2 p
, M8 o# J2 c. J& Y
矩心不同，力矩不同。
; |) k% w$ c6 |+ o0 t
2 ^: \* J! S( ~ \( y x0 ?
规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
0 G0 c: i8 d3 W& J
& X9 K" H* ~1 M2 I, _: s1 R. `+ B2 t
力矩的单位是Nmm。
! k" [' L8 y$ C
- y- o! P) B( Q' ~由力矩的定义可知：
) @# A& D# f' B/ y+ G- A
/ _9 F# V/ c: z5 Z$ _
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
; _# X% N. [8 Q0 B# |
* A* H/ r+ t+ h1 S# N7 G（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
! ^8 N+ W5 W9 ?
; v4 a. G8 H- [力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
+ o* ~" M Y, W& l7 A
3 `: B' Y/ c& V J, L5 I- l2.合力矩定理
: Q" Y2 o! p. m8 G4 m
5 }# h; t2 E( Z2 ]% \- @0 z* v
设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
# F. A" v$ t# J5 e! j
# H- a9 M1 b4 g* J# T/ J: P V8 d
# b% U! N9 C# g ~% d' {2 A# |, r: S
+ E0 @; P/ @& K6 H计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
. H9 A3 ] z! [; K5 I+ e7 S
1 E- F- w' u9 @, l5 s- lMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
5 C, }' S# K/ F, j& X
- a: j. X7 ^; w& L4 i$ [5 f
Mo(F2)=F2yl
* e$ F8 |- F B2 W, b) R+ v
' V2 M. o4 R' x; M, M; PMo(Fn)=Fnyl
9 Y0 T& N4 Q9 n7 w0 q$ n
. y$ b4 w3 a/ ^1 l$ A+ E7 F由上图可以看出，合力F对O点的矩为
/ p e2 s" R8 y# I+ U2 j& M' F
; m8 y1 s7 ^& [* A# @1 Z9 vMo(F)=Fd=Flsina=Fyl
1 W# N3 s* J) ]9 d
' x+ G- p+ F0 h, @据合力投影定理，有
5 b6 z( r( r; I( k* p
( u2 `* F: S2 V& |1 V' t7 r
Fy=F1y+F2y+---+Fny
" r; t7 K2 i: m8 |3 }
& U3 s/ e8 O1 E
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
/ z8 S, q- h4 h% r4 I& I8 F
0 f- G/ e9 A0 r' Z- X# |
即
! ?0 c* c7 S% Q: Y: U; i& d R
$ N7 t( f9 m8 v: w% g
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
8 z- t( L5 U" q4 |( c1 R
; ~! H, K' \% P' J% h) i
" C% r2 N, n2 i# o8 g
4 L+ [& [; k, v; l
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
& ^1 Z/ N+ c2 m1 y' [% D) s
) C5 ]+ [9 M8 t B7 B
3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
3 b: [' Q) a. ]$ ~# j" L
V" ~) k0 E& t9 F3 i8 }+ c+ c- F
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
1 P/ V! h' e; l( Q% O; P
% ^4 b* m1 n: T# t# ~0 w0 z" P, h注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
- g0 u3 e. \ u2 s. A3 X
6 e9 q$ x$ G5 v2 W# j0 r7 o（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
/ b# X9 Z+ J( y6 E
" R. ~) e5 k% s9 @$ C例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。
8 n. A9 z% b3 R: e: J2 M! ~
5 x) G- Q+ T* D
: K6 _# P$ m+ X) {* u0 G0 z
7 m3 [8 x/ b; H+ Z解 （1）利用力矩的定义进行求解
6 M: W. K ]) a3 a
) j$ _$ J [3 D
6 o4 J0 r2 A9 G7 |0 C8 ?' w4 G
! Z" O+ f. L8 j! C* H7 Y& u
如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
0 @' d& R5 N$ x
% m/ N4 g2 _6 t0 \) a
/ i" Z! A. {2 V
: u* {- N4 V" t# c0 J! {（2）利用合力矩定理求解
! x( l( K, M0 R" x, @
, p R i+ S4 \* R( c
将力F分解成一对正交的分力
: |/ ]) B* ~7 o" r
7 [8 Z5 n" c% G% j7 o, q
, p& T: I, C; q. F; e3 `0 I
- {4 v g) u3 m# i7 X+ G& k9 e8 V
力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
& X0 U% B# N0 [# Q
7 ~ Q$ j4 @- k- \$ X) M* BMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
! a: t! U1 {" l
% R1 m1 z/ K) P2 `2.2.2力偶及其性质
% m6 u$ D: C% r/ Y
6 Z& O! i; U0 K# q! u
1.力偶的定义
8 W" @% I7 O" I
, \* t# t. |' n( V/ U' K1 F
在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
, Z& o" d$ B8 K0 S+ ^% ?
" G& ]' [" R W6 j, G1 v
, d+ l; O3 l' z. a- Z5 [% R
1 B1 w7 T$ J0 D/ S# S
力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
1 S. \( T( h/ S
+ t. Z) f1 p# j6 r力偶作用面——两个力所在的平面
/ E6 r* {! @0 C+ W1 E: ]& }
/ D$ u$ j5 e1 w: m. U0 r [力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
8 D; A5 ^9 d& b3 z4 f2 }
" ]9 f \ {0 I% e力偶的转向——力偶使物体转动的方向
9 k6 n) b5 G+ I I
( r( r2 R2 r$ r: } f; b3 Q力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
/ p& H$ e, t1 _8 b/ J& _! i+ a
9 U- N* {( a# f0 Y力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
8 {7 T' [# Q. T( ~/ K) r1 Y1 d% ^
Q. ]' Y8 c& ~ r设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为
- O: J1 X' U6 _
, ?2 Q+ P8 U' ^# H, y% A
, e3 L, S& r( f h6 W0 t+ A" x! t
3 v$ {* Q o ^' S) F- RMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
_! Z" A7 }* b& v1 Q! @7 w9 H
; Z% l9 h, g! r* A: U5 T1 w由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
; Q2 D/ \$ B5 H# K: j$ m6 N s
' |4 o& ~# ~3 i: |# O4 z力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
, a6 k5 _/ q3 i9 t
$ [5 ~! ?8 s! ~! T( B7 tM(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
! k/ E4 i% R! K, Q
8 l n. M& X( T5 u+ C; F7 K
力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
* c0 B9 o( r# v/ L, L
; {0 x" n3 @! C n( I% b7 Q
Mo(F) = ± Fd
$ i3 j4 U6 I9 [( C3 N6 r" Z
7 n* B! R9 J4 R% X4 e; B; F力偶的三要素——大小、转向和作用平面
4 i/ ]. \# A% B6 {. k
7 j( n# z' M7 M0 ]! w% Y) p- a
2.力偶的性质
8 r# ^6 p; s5 V; L0 Y; P" ]
+ T# J1 S( k9 C+ M$ F9 y, O) {; j) ? W
（1）力偶无合力。
1 {/ |( r- Q8 D' k
8 i) I# }5 ~( E力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
4 O) Y: Z) q" S t! g' u
$ ]/ T5 \5 y5 C可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
& C. @) w% ?3 H. B, X( B- C
4 n: D* B, v5 l2 Z
（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
6 r# t0 Q* H* H; G6 ]
) o- x9 X/ T! u2 Q, }' o（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
i: Z' W/ i& x5 D/ k( w' l
" c, ~1 [$ g! D2 I0 k
力偶的等效条件：
5 V' u. f# t6 m3 B, I4 o
6 D; u* O* ^$ q1 O7 n
1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
/ x% {9 }3 n: L1 [2 M5 d; I8 ?
6 [. U0 b8 Q6 H+ o
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
# z/ |' T5 O/ d$ K' z# \7 R
& j' { |6 j+ S7 Y! W
2.2.3平面力偶系的合成与平衡
4 i/ K b! g- p
- @ J, @: c" C% ]平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
: T4 L, N3 U# q/ _
0 o4 y! E8 }! x' o
1.平面力偶系的合成
% b5 [0 c f0 Q5 M. u
/ o1 k& J2 Y3 A( p例 两个力偶的合成
* w5 X8 f2 ] e$ y1 b
- M/ J6 V, Z, F. G1 n
2 ~) J5 W* y' {) j6 h) Y* J$ ?
M=M1+M2+---+Mn
/ m) p; M3 p z, X/ V" E
+ g, M; Y( z2 s% @2 t7 Q" n
- V9 e; T8 Y8 p2 A5 N5 `————力偶矩等于各分力偶矩的代数和
+ t: \3 G$ @6 ^) N! q8 C' }
1 L5 {+ z* b3 P# I0 E; ]; V
2.平面力偶系的平衡
|: q3 \# x7 a, C1 X
: F8 ^0 f- i; |* b
平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
% G- ~% r& B! ~$ ]4 L. j6 u. ], F6 X# s
; H2 w! a7 z1 `
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
; K! ~# p- f/ A/ o9 U1 S
% e3 R/ D% ~* H! l/ l! R
% m' [$ b3 J$ w, V4 B/ }) J7 a$ d' y
( C" f# ~% y H6 b1 o( k. E解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
1 ~0 k+ c5 t2 G
. y/ \+ v1 X, l' T3 c" ~
FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
- n3 s- l0 Y- j; ]# B- P0 a$ A
: Y) `) `4 W! K" h（2）列平衡方程
; u0 _* O+ W7 x
! r" ]9 P4 x: T" ~: z" @/ A
- F2 i% y- Q9 n4 S; Y; K* _- d$ ^
. |8 c4 S. L8 W0 H* q# y
2.3 平面一般力系
2 U0 R8 Y! b0 o6 t# z
% y" Z' }( i2 ]; t& y) s平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
/ D3 o+ J8 U& d0 N8 e/ |; `
+ }* y, e6 O+ C$ {$ d' n
& C: I, a+ z F4 u, j: x
0 S0 x9 I1 |' k( j. [上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
& o- T/ R% Q4 k9 r
9 ^! G5 |5 ?8 { H7 h) T
2.3.1平面一般力系的简化
3 V7 g5 r e: e
1 ]: n2 w8 y9 V2 \8 S4 [0 R% l1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
! g& n( H" o8 ? }3 B
! _: v$ j, q- J+ _, ?! g问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
- l, c1 q' i0 z6 J) m
E' Q9 R( Y0 ]8 w将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
) Z5 V% _7 M; y. E7 i" M* e
9 e; w8 }5 j/ N& N# }9 q4 p
- d0 u# ^1 P; x# Z* A( |: I5 r
6 {# h9 P. K1 S( O! b" x4 Y附加力偶，其力偶矩为
9 O, k* T- I$ X2 H3 x3 h9 Y
4 z$ }# l$ w, F& |M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
+ D: [3 k; a" e; J# a0 t$ r# c
: p9 L, s0 d% E- A- [, m
上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
5 Q# L& D, Y4 i
2 D- b; a: x! z3 V) U于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
~ f! \7 K4 A/ l
8 \3 x$ P3 V$ I$ m+ H$ C
力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
?% v- P0 E( A/ A3 Y3 V1 o
4 Z4 _3 E/ {6 D0 z根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。
- M2 P. |' ^7 V# C* G7 O" k
5 F8 I+ `* S2 l/ I
3 ~7 s7 l! c: T2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
) u9 r# R; ^4 `5 z; }0 o
! ~( \* M1 V e/ U ~' ^
2 u' h8 o O. N6 E& }
* T, W' X* V, Z7 F
4 Z& J: Y$ q/ ?- |( R8 M6 oα——主矢与x轴的夹角
7 Q7 w/ f/ g( Z
9 s9 A3 p1 ^! \
Mo——平面一般力系的主矩
$ y" p/ Q; t$ S. e: L5 }2 ^$ ~
$ @0 R+ o2 T, I" }" A主矩=各附加力偶矩的代数和。
2 X/ l6 v" y6 v: w/ @, m
" w3 B9 j* B0 a8 U7 R+ h% a; {9 c
（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
6 J5 m' E) U& @6 ~( U% t
8 Z( E K6 l% S; X* R0 |2 gMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
Q l( J3 ~) v0 S, W0 r/ |" }
; |9 _0 t" X4 t平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，
% P# i" N3 f: n, @; C$ E& R
; l- ]9 L' \' ?8 j8 p
主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。
+ l6 e( Z2 \6 F( p% k
2 c% a$ I- @( k
主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。
" x2 k9 d" I; L- N1 w) `
1 `4 L( o% p. F# l- E- D/ w, q
3. 简化结果分析
) `: E/ O7 }$ Z0 c
% h! ^& ?! i6 l: p" c平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：
6 A q+ M( \/ r0 b+ k* ~) W# s
$ N9 N: y- K; \" K
F'R =0, M o ≠0
. S0 Q! ]# j9 {! ]' A
* O' D- _% e, c- U3 | @F'R≠0, M o =0
" w2 v Z$ H! J) K3 A& i3 D
9 x( g( U' k2 U+ a* _
F'R ≠0, M o ≠0
) l+ N: K6 V6 `2 H+ g- @
/ t# D5 o$ z& T1 v. a
F'R=0, M o =0(力系平衡)
$ u, N/ n: v3 ?6 z; W- W# }; }
% R, I }0 }! I! Z' I2.3.2 平面一般力系的平衡
1 H7 O: H5 n; y3 L5 x5 R
7 g, S* d8 s6 A- L/ O9 k5 o
1.平面一般力系的平衡条件
3 }; Q. `4 ^0 {0 P
. K8 g. Q8 b& O平面一般力系平衡的必要与充分条件为：
8 l/ b/ |" A8 z5 S2 o' s5 L) J6 W
- y! }3 D% {# [$ J' J. L5 \. h
& o2 D7 T5 b; g1 L3 r
4 S" D& t, o$ P1 V5 S ^8 @* I* I& C
+ \+ Z( C1 I+ o! E" s0 N3 T
! a9 h4 i* p: ~" }: O3 C2.平面平行力系的平衡条件
( S( @3 ?% R4 x
# w) ~5 n; [$ M: f2 M. u+ B平面平行力系的平衡方程为
! ?( k6 ^: X2 M- y: X0 X! J! F/ v+ W
, q- b; S% D8 o$ o6 @
3 u# i7 J# R; `! Q
/ ?; T! B( u; Z% |0 b" ]( J% A; `4 F平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。
8 v% w, ~- g; _2 I0 ]
4 H) F6 @/ `4 b1 e* _$ M例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。
" R5 y" V8 ?0 T7 O, y
5 D( k% E$ E9 s$ i' d6 K: _) A7 p
: [ P& W. B; W1 U
; p9 y4 A$ Z+ A4 o* r0 x解：取起重机为研究对象。
: t5 N& ~0 C* b! ^# h
" b/ b# g, {: [' a* P/ L9 |$ _是一平面平行力系
7 r7 ^; f7 i; \ F7 r, @
) Y: H9 u6 t5 N. u
3.物体系统的平衡条件
8 A# h3 R# l+ A/ z6 I
5 X2 j, }5 ?" j6 ^6 Z
物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。
8 a8 S1 G% |! f& F9 U+ `
; F ?; n+ L6 \
若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n
. `2 Y) d+ `* x0 V9 A
9 _% x/ c$ `3 I7 q7 ?- [+ h. S" B物系外力——系统外部物体对系统的作用力
" ^! j2 l) U# ~( U$ a+ O7 ?# |: R
4 B; }0 H6 {) K, t8 o/ [2 J& P9 T
物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力
; l# ^ _% V# l0 k" l
: t x4 w3 ?& s5 G4 b: n! K物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。
作者:草原蒙狼
时间:2009-9-28 19:28
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3 Z. G8 X* M* B; d
7 k. I9 x' g' k* j1 v/ o
2.1 平面汇交力系
平面汇交力系的工程实例：
' n! M, p0 N: F' n- }% b' U; u7 H; e
2.1.1 力的分解
- Y& U0 [/ z5 F# |9 K g; j
按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
7 Y+ q8 I1 P3 B2 \但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
- A2 \9 o- q C) j) c/ o
2.1.2 力在坐标轴上的投影
6 \- ~' y# k/ ]: h- J1 s0 k
, F0 b; l4 D4 V$ I- W6 R
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
& ~4 u# D3 F% w' b, K& Z
# ^6 a! r* P" Y# k' T. K" G" j
2.1.3合力投影定理
( D3 q) s/ g9 u5 C4 R" q. t+ C/ L
, L" \: R, I) p9 F9 C0 q
$ ]1 [/ s* R! g8 V$ O0 P0 ?
' P7 C! l+ X% v- I) ?8 X
|
?& N4 M' U+ Z# ~& Y1 m" `. k/ J" Z
合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
1 |, ^. X' v7 C: v5 t
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
. H* J# U; I% {* R4 \平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即
, G# h( O# |0 Z/ z
. N/ i, m. a3 S O1 d4 H
即
|
7 M3 ^+ |" \! n2 o) c
力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
: f2 s) Q, ] R" N6 ^" B
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F
2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
: `9 R4 [; Y3 o8 u
% K/ w$ L0 k7 ^, o/ d
例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
2 ~9 L9 p. N5 y6 y @" r
( K: B$ j. @2 u: _( _
解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
" N2 ~. u6 k* O5 C- \
- k5 u5 j; ]' e: m9 }$ h& t' W$ q8 o+ K
解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
9 g. d& S8 N$ I+ ^' |% _! J
1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
; B( Q8 e1 b% W8 I3 {7 e8 N
2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
! }0 A0 l4 j! Q3 i+ X* R, q" k3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
: s x/ o6 h$ x
在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
* V2 m: D6 M" E, O" z6 C8 p+ r; }$ O4 _
2.2 力矩与平面力偶系
2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)
1.力对点之矩的概念
为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。
/ E7 H; { Z2 a3 R/ A1 {1 Q
力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
$ J/ V6 J. d& H- a9 r' P, Q一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——
矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为
力臂。
+ ?3 c; t& c: \& e& j# ]) z
' g5 n' U6 ?6 f4 vMo(
F) = ± 2△OAB
2 B |( t- f; j0 y! k( |- @. Y力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
* m% s5 I8 r/ O9 T% P3 p' w0 C
矩心不同，力矩不同。
; Z. P3 e' Z* f% g# k. z0 P
规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
; r; w# o0 J; J$ p6 n b, X. j
力矩的单位是Nmm。
p$ y; e7 ~( ?8 v# f! X9 z; A
由力矩的定义可知：
+ ]. m+ c* q/ m& |) J, B5 i
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
) y! B" b$ Q8 E* S% |0 g, b（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
, R0 j" F# z* W+ Y6 D9 U( |4 Z力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
9 k$ z' @' P& _% ~7 G0 g- ^; J
2.合力矩定理
" H- q! d p- Y
设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
% h* M- I6 D6 u: [- c9 U3 W
( T8 o3 P/ M c计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
; Y% I- Q4 c- T0 ~; q3 @Mo(F1)=-F1d1=-F1
lsina1=F1y
l
; M* @; r2 K& S9 J. {! _5 d7 iMo(F2)=F2y
l
8 d) Y7 I, t8 _8 o7 @* c! [) l
Mo(Fn)=Fny
l
9 e% R ^. E. u: l* a0 O! o5 m9 E0 j ^由上图可以看出，合力F对O点的矩为
7 e2 |/ |6 {& a- R7 M/ Q
Mo(F)=Fd=F
lsina=Fy
l
- s R# p' a$ c' }# I6 B9 [
据合力投影定理，有
* P; f( k* |6 J$ A; z) y
Fy=F1y+F2y+---+Fny
6 D. i7 v; `5 b0 f0 VFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
. o4 {# P" J# J% Q0 F! G! _) q即
" K8 f$ A" Z+ S: D eMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
2 ^* J2 X( j6 u0 N1 B! K
f" P4 s% A6 _4 n- I2 @9 n" h2 Y
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
# M0 t+ [, i5 E+ V* K7 O H
3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
- a0 _! D) h6 T, [; p
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
" ^, \2 r5 f$ V6 u) N; ^: K+ ~注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
& y7 u* P' l0 O' h3 ]. i$ {7 B7 F（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
; [+ L0 d* d$ ~0 ?$ J( P; c
例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC=
h，求力F对O点的力矩。
/ S. k* g7 r* A/ U. s4 H% m
4 v- k) x. A$ k( ^, j# K
解 （1）利用力矩的定义进行求解
; V3 t, G, \/ s A! _; M
7 A3 F& A& x' ?$ g' a$ b- J r
如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
% k+ }2 p7 {4 f$ G' f5 f
8 L+ K1 u3 K- _ }; G8 A0 J
（2）利用合力矩定理求解
- u1 S, f- c V+ |0 { z将力F分解成一对正交的分力
7 Y) S1 H+ H9 B
0 L+ I! b8 b$ t# d Z- r9 y& E0 T力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
: c# p8 Y' B, B4 z9 L. zMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
& U$ Q) U& z+ z. y. N* N1 |% \
2.2.2力偶及其性质
% M7 H: S8 `7 Z
1.力偶的定义
6 [0 ]) c F( |6 W在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
0 l3 `7 Z. c5 l! v
3 d, k0 f& d# M) x& T
力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(
F，
F')
8 w, B W7 m9 ~$ v0 v F q力偶作用面——两个力所在的平面
( f% S3 a: N- d0 M2 @
力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
* J& b( L) z. w, v1 m% }; I9 r% @! N力偶的转向——力偶使物体转动的方向
& V$ q9 L2 G3 d* o1 e
力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
0 t8 y6 D6 T* v% s2 i) l
力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
" r4 W/ S3 D- A+ l& _9 {设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为
+ x8 K: O+ L3 N s, W* }/ }
! D9 K1 m5 q/ u. X, zMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
' Q2 L$ k8 x1 e9 F6 b! ?3 w
由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
: c0 d4 b) I2 J/ H5 D& I! V
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
1 @. V/ Q% l2 `: t/ JM(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
* p1 }* ~9 r5 z6 H# ]力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
+ [/ I1 g2 W/ `, V8 n3 xMo(F) = ± Fd
: `6 G4 q) z% B! t力偶的三要素——大小、转向和作用平面
9 y0 p) e; ~9 ~0 W# H( P+ L
2.力偶的性质
0 N# U5 ^, j* ~7 j, n1 M/ @- ^（1）力偶无合力。
. o! D0 s% O5 O, z" ]- M0 J
力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
* U8 `$ V/ x5 g- `可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
# L D. J& Z7 x3 ~0 Y（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
- c: w7 r) v6 q) |% H7 \
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
9 K& O# o0 a" R% v' e4 Z, |
力偶的等效条件：
5 F+ R8 [3 u* W0 ^; B/ b
1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
7 Q! t% r, K5 W2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
) C2 m3 z: r) B' G$ V I2.2.3平面力偶系的合成与平衡
4 |9 w2 Z, f0 i! n
平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
3 q7 C$ V7 I6 Q7 Z! t3 v1.平面力偶系的合成
( y0 s- _8 ]# A9 T& K
例 两个力偶的合成
" C- I; q3 e( x/ W0 L
M=M1+M2+---+Mn" V% N, b& y4 ^" u+ B9 J# i
|
2 {4 ^" p7 N6 R; w( A6 J
————力偶矩等于各分力偶矩的代数和
作者:草原蒙狼
时间:2009-9-28 19:29
2.平面力偶系的平衡
! s2 Q2 \# V k
平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
6 Z1 X+ v% {1 h& \; [
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
: i4 R( V" h6 ^ @ I* r3 _3 H( Y
5 n& F0 R% d3 l! d1 i% L
解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
0 i+ V5 p1 ?, \( w( x
FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
4 Y9 g" K1 S8 N! R# `2 J1 w* _（2）列平衡方程
* r1 m$ h* r3 _) u. w, ~) I
' Q( @* O+ a- g/ t) W( a; f
2.3 平面一般力系
平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
* u5 e; e- C: f, x
# j, y# }3 j% [2 m' b/ t @: {* B0 d上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
" D) ?4 j# L2 ^" C# x
2.3.1平面一般力系的简化
! Y8 O' x$ ]- x5 Z/ d& |6 t1 W4 e) e
1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
- t. G3 f( {, G I1 i问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
. q! C I4 E' `# ]6 a2 E8 f将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
7 z1 x. S% x, L2 R/ w
1 I0 R8 d2 ]" b/ c& s9 }( p$ P附加力偶，其力偶矩为
' d7 i8 c: u+ _1 Y) l
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
3 t4 V9 y `2 H, ^7 I+ s% H1 f" n上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
! M! Z& l3 D- `" r
于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
* x! V5 Z; a; R* J7 C# A( k力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
& A( s! z1 n* A3 p; ]根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。
: L0 j7 }+ h; U# x6 J0 v
8 r( @, D6 E6 o8 e/ v2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
8 q/ `) f* N) n( H; K8 z" K
0 ?% Z# Q ]- xα——主矢与x轴的夹角
! K5 F% F* m: L* c; c
Mo——平面一般力系的主矩
( t% S3 H* X. |8 J$ q; J
主矩=各附加力偶矩的代数和。
2 P+ a1 A: [8 Z. g5 y$ G（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
2 V+ e" s0 U! \" MMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
7 a7 \8 o ?$ H4 B& L
平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢
F'R和一个主矩 Mo，
1 J, J1 e% q! \9 f' b4 O! M5 W
主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。
主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。
3. 简化结果分析
平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢
F' R和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：
F'R=0, M o ≠0
F'R≠0, M o =0
F'R≠0, M o ≠0
F'R=0, M o =0(力系平衡)
2.3.2 平面一般力系的平衡
1.平面一般力系的平衡条件
平面一般力系平衡的必要与充分条件为：
! x5 h% p1 B7 s/ d. q
# Z9 d% v% z, ?2.平面平行力系的平衡条件
% p3 B$ [% ^- _! u% ~平面平行力系的平衡方程为
* W6 m7 s( x$ s; ]) r+ h2 A
2 K7 Q, a$ z7 s7 ~0 z) \5 b( X1 f
平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。
例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。
6 t( J+ z. m: Q* D; m
解：取起重机为研究对象。
$ @- V4 k* \/ H
是一平面平行力系
6 p4 Z6 s7 ^" R
3.物体系统的平衡条件
物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。
若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n
物系外力——系统外部物体对系统的作用力
物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力
物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。
7 G7 O+ m% j$ `+ E6 _
作者:无能
时间:2009-9-28 20:39
依图为空间平行力系，其平衡条件是：
/ X. H* j" x; S! L5 P: o3 a
P1+P2+P3+P4=W
6 [- c) I5 g" @: @3 @$ L2 y- s
WB=(P2+P4)A
7 T9 |: p l: d. a9 sWD=(P1+P2)C
4 w8 r' R2 [& s2 ~
3个平衡方程，4个未知量，此为一次静不定结构，必须得知各个杆件的E，补个变形协调方程，方可求解。
1 Q+ @" P& A5 N7 u0 }. Q8 o
对钢而言，因为其弹模E高达200Gpa，在静不定的情况下，某一构件长或短若干微米，受力情况就面目全非（比如Φ50X4长100的钢管，其弹变10微米，外力变动就达1吨多，不可谓不大）。所以此题若将支撑改为3个，即变身为静定结构，求解就易如反掌了。
作者:w9049237
时间:2009-9-28 21:00
8#草原蒙狼
v2 Q- |1 @, P* l! i佩服.......無言!!
作者:rabitzh
时间:2009-9-28 21:02
顶，我也发现用普通的力学平衡只能列三个方程，所以是静不定结构。
2 u) [1 O% V5 q. S
; r c ]6 Z, L9 O. {0 L
如果是理论力学范畴的话，这无解的，但从材料力学变形协调的角度还是可以求出的，就是楼上所说的那样。
- n3 m3 l3 |* p: v( H% j' W
9#五更鸡
作者:草原蒙狼
时间:2009-9-29 15:21
看来是空间力系解决的
2 t0 {1 x$ g% v) k. U. V) X, K5 {
3 o+ g! i9 V. M7 ]: H9 R
空间力系——各力的作用线不在同一平面内的力系。
3.1 力的投影和力对轴之矩
3.1.1力在空间直角坐标轴上的投影
1.一次投影法
5 Y) P( A" W- l0 d; {0 y" c' \0 w2 C
设空间直角坐标系的三个坐标轴如图所示，已知力
F与三个坐标轴所夹的锐角 , 则力
F在三个轴上的投影等于力的大小乘以该夹角的余弦，即
# n9 _2 ~; B) @4 P4 T
- P" u0 E& ^7 L9 e1 ~4 L
2.二次投影法
有些时候，需要求某力在坐标轴上的投影，但没有直接给出这个力与坐标轴的夹角，而必须改用二次投影法。
' t& B/ ?/ ^8 }$ C v
反过来，若已知力在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小和方向，即
0 `! a3 s1 @% X( f+ a5 D( p: s
. [3 k- O$ }* ]" |% N Q0 B
例3-1 斜齿圆柱齿轮上
A点受到啮合力
Fn 的作用，
Fn 沿齿廓在接触处的法线方向，如图所示。 a n 为压力角，
β为斜齿轮的螺旋角。试计算圆周力
Ft 、径向力
Fr 、轴向力
Fa 的大小。
! F; J- Y. G! t5 I. @% ]
$ t5 F2 ~+ {, j# t! l) \# N解 建立图示直角坐标系Axyz,先将法向力
F n向平面Axy投影得
F xy，其大小为
/ Y5 X! A1 }, U( v
F xy =F n cos a n
向z轴投影得径向力
F r =F n sin a n
然后再将
F xy向
x、y轴上投影，如图所示。因
q =β，得
圆周力
F t =F xy cos β =F n cos a n cos β
轴向力
F a =F xy sin β =F n cos a n sin β
3.1.2力对轴之矩
在平面力系中，建立了力对点之矩的概念。力对点的矩，实际上是力对通过矩心且垂直于平面的轴的矩。
, |9 U5 k$ p$ J u以推门为例，如图所示。门上作用一力
F，使其绕固定轴z转动。现将力
F分解为平行于z轴的分力
F
z和垂直于z轴的分力
Fxy （此分力的大小即为力
F在垂直于z轴的平面A上的投影）。由经验可知，分力
Fz 不能使静止的门绕z轴转动，所以分力F z 对z轴之矩为零；只有分力
Fxy 才能使静止的门绕z轴转动，即
Fxy 对z轴之矩就是力
F对z轴之矩。现用符号 M z（
F）表示力
F对z轴之矩，点O为平面A与z轴的交点， d 为点O到力
Fxy 作用线的距离。因此力
F对z轴之矩为
! ?! v& q) q) x; b9 |7 L m3 E8 j1 ~
! l0 m; M ~% w( l3 R: ]5 \
式表明：力对轴之矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与平面交点之矩。力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量。其正负号可按下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针，规定为正，反之为负。
力对轴之矩等于零的情况：（1）当力与轴相交时（此时d=0）；（2）当力与轴平行时。
3.1.3合力矩定理
如一空间力系由
F1 、
F2 、…、
Fn 组成，其合力为
FR ，则可证明合力
FR 对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。写为
' o+ a$ ]% {" E8 Y6 p
3.2空间力系的平衡
3.2.1空间力系的简化
力偶矩矢
% L3 C% x( }. B; g4 i6 l设物体上作用空间力系
F 1、
F 2、…、
F n，如图所示。与平面任意力系的简化方法一样，在物体内任取一点 O 作为简化中心，依据力的平移定理，将图中各力平移到 O 点，加上相应的附加力偶，这样就可得到一个作用于简化中心 O 点的空间汇交力系和一个附加的空间力偶系。将作用于简化中心的汇交力系和附加的空间力偶系分别合成，便可以得到一个作用于简化中心 O 点的主矢
F' R和一个主矩
M O。
. W2 `) }6 j; h6 v; f+ d+ X! |
* @$ C8 U+ h+ i2 c4 U
3.2.2空间力系的平衡方程及其应用
空间任意力系平衡的
必要与充分条件是：该力系的主矢和力系对于任一点的主矩都等于零。即
F' R＝ 0 ，
M O＝ 0 ，则
, y7 @' N. Y2 J# }& R
由上式可推知，
空间汇交力系的平衡方程为：
各力在三个坐标轴上投影的代数和都等于零。
空间平行力系的平衡方程为：各力在某坐标轴上投影的代数和以及各力对另外二轴之矩的代数和都等于零。
3.3 空间力系平衡问题的平面解法
当空间任意力系平衡时，它在任意平面上的投影所组成的平面任意力系也是平衡的。因而在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。这种 将空间问题转化为平面问题 的研究方法，称为 空间问题的平面解法 。这种方法特别适用于受力较多的轴类构件。
例3-3 带式输送机传动系统中的从动齿轮轴如图所示。已知齿轮的分度圆直径d=282.5mm，轴的跨距L=105mm，悬臂长度L 1 =110.5mm，圆周力F t =1284.8N，径向力F r =467.7N，不计自重。求轴承A、B的约束反力和联轴器所受转矩M T 。
解（1）取从动齿轮轴整体为研究对象，作受力图。
y# C3 [& u& [9 Q- W（2）作从动齿轮轴受力图在三个坐标平面上的投影图。
- n/ b \ T: d1 _$ ?0 M
3 I# y# [' l. [3 R( A（3）按平面力系（三个投影力系）列平衡方程进行计算
作者:fengjianzjg
时间:2009-10-1 18:29
nihaoa hehe
作者:p_p_5566
时间:2009-10-1 23:03
楼上的搞得这么复杂呢，应该不是搞实务的吧，既然平台为一刚性水平台又有重心W与各支撑点的相对位置，那么各点受重力关系为(P1+P2)
P3+P4)=D ：（C-D） ; (P1+P3)
P2+P4)= (A-B) :B .......当然楼主没讲明是哪种弹性支撑件，如果是竖直的首先根据上述受重力关系式算出对边两点的力，再算出一边两点的各点受力值。
作者:p_p_5566
时间:2009-10-1 23:04
是“：”真么出表情了？？？？？？？？
作者:easylife
时间:2009-12-22 10:55
依图为空间平行力系，其平衡条件是：
# T: b( Q: q& d) s4 XP1+P2+P3+P4=W
2 s4 \* S* g+ V$ t7 Z
WB=(P2+P4)A
6 H6 U0 k S) l' X7 H9 oWD=(P1+P2)C
1 u5 b9 {4 x& c+ `; ?) U3个平衡方程，4个未知量，此为一次静不定结构，必须得知各个杆件的E，补个变形协调方程，方可求解。
7 p! @1 U( U/ n; j3 q) b3 W& ?对钢而言，因为其弹模E高达200 ...
& q/ o& z8 C( h) H" n6 E1 Y
五更鸡 发表于 2009-9-28 20:39
$ U3 A+ c( L# |' H+ i
( F7 ? q7 o4 R* D
感谢大家的热心解答，这个问题的由来是：
9 G0 q& j4 @, {. Z: X9 g. c某机器安装4个空气弹簧减震器，需要为每个独立的减震器充气，各减震器气压需要根据其受载大小确定。
: [: C5 Q2 u. ~
减震器如下图--其结构外部为橡胶材料.
$ R5 M3 L. U( m' J0 W# C8 l. a" ]& K[attach]159462[/attach]
/ a f2 t& }# h$ F
http://search.newport.com/?sku=SLM-1A
8 n0 Y: N0 V9 D( T
$ O$ y" t, N0 l8 B0 U" Y. u
* k6 W0 B; m# b: V/ Q/ K" B' |下面是我们的解决办法：
4 K' J, u; b0 y- l- Y计算各支点受力时，假设支撑件为普通橡胶柱（受载后变形为弹性变形），各橡胶体变形为x1,x2,x3,x4，橡胶刚度K,
) D0 u0 l `+ d5 n变形协调方程为(x1+x3)/2=(x2+x4)/2，其他方程前面大侠有介绍.
1 p/ J5 U! R0 m$ {: c0 a0 ?
3 w6 l0 V4 F2 l3 h也可以通过使用有限元软件求各点反力来求解.
作者:无能
时间:2010-1-7 18:47
楼主把工程问题整成了数学问题，弄一堆代数再加上未知的弹性，难怪大家忙活死了。
& k* a: c5 r7 C. }直接给出数值，问题就大大简化了。
/ y) }. j2 T! B& [8 A; a看样子重物居中，则p1=p3，p2=p4。
- d1 Y( y" Y7 x1 Y5 Qp1+p2=w/2
) F- V, J0 c$ s# o; QWB=p2*A*2
n6 ~) W" s8 p8 O: y: z( e# @
俩方程俩变数，搞定。
作者:zyz4190
时间:2012-6-5 08:42
可惜呀，讨论就结束了！
作者:oliver97
时间:2012-6-22 22:25
说得详细 谢谢
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P3+P4)=D ：（C-D） ; (P1+P3)