假设一均匀直杆，弹性模量E，截面积A，长度2L两端固定，在中间位置施加一向右的载荷P，求直杆内应力。

材料力学解法：假设P的作用点发生了一微小位移X

求解完毕。

有限元解法思路：

将直杆划分为2个单元，用这连个离散单元的组合来逼近连续体直杆，设单元编号，结点编号1，2，3，单元上轴向位移与轴向内力如上图u表示结点位移N表示结点内力。

假设x为单元内任意一点则位移表达式为（以下的位移表达式为假设的，其实就是有限元中的单元形函数）

根据胡克定律，对于单元，由轴向力引发的位移

同样对于单元

对单元，受力分析得出结点的受力情况

将上述单元的结点受力表达式写成矩阵结构

同样的方式针对单元，那么单元2 的结点受力表达式的矩阵结构是

单元的刚度可表示为

在结点2处的平衡条件

各结点的位移连续条件

单元的刚度矩阵方程可以组合到如下形式（整体刚度矩阵方程）

可写成如下形式 P = KdK————结构总刚度矩阵d————结构结点位移向量P————结构结点载荷向量

边界条件d1=d3 =0 代入求得

带入各单元内力方程

到现在位置我们并没有使用黄色背景部分的公式，它起什么作用呢？目前我们能得到的是各结点的位移，各点的受力，以及杆的内力及内应力（此时因为个单元内部的应力处处相等），那如何求得单元内部各处的位移呢？那就得使用黄色部分的内容了。比如单元中间位置发生的位移是多少

，它不仅可以用作单元的内插值函数，即把单元内任意一点的位移用结点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为结点上的集中力和力矩，此外可用于等参单元的坐标变换。